WWW.LI.I-DOCX.RU
БЕСПЛАТНАЯ  ИНТЕРНЕТ  БИБЛИОТЕКА - Различные ресурсы
 

«Элективный курс 9 класс «Замечательные неравенства, их обоснование и применение» Пояснительная записка Предлагаемый элективный курс «Замечательные неравенства, их обоснование и ...»

Элективный курс 9 класс

«Замечательные неравенства, их обоснование и применение»

Пояснительная записка

Предлагаемый элективный курс «Замечательные неравенства, их обоснование и применение»  ( автор С.А.Гомонов, канд.физ.-мат.наук ) ориентирован на обучающихся старших классов общеобразовательных учреждений, реализующих профильную подготовку.

Курс рассчитан на 1 часа в неделю, всего – 34 часа

Целью данного курса является изучение избранных классов неравенств с переменными и научное обоснование методов их получения, а также применение изученного теоретического материала при решении неравенств.

Задачи курса:

- закрепление основ знаний о неравенствах и их свойствах;

- расширение представления о неравенствах;

- формирование умений решать неравенства с переменными;

- повышение общей математической культуры;

- развитие логического мышления обучающихся, культуры речи, способности к умственному эксперименту;.

- воспитание качеств личности, обеспечивающих социальную мобильность, способность принимать самостоятельные решения.

Запланированный данной программой объем знаний необходим для овладения обучающимися методами решения некоторых классов задач оптимизационного характера без применения средств дифференциального исчисления, а также для ознакомления с некоторыми идеями такого раздела современной математики, как выпуклый анализ; решения примеров на установление истинности простейших  и более сложных числовых неравенств, встречающихся на ОГЭ по математике.Данный курс имеет прикладное и общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления, использует ряд межпредметных связей, прежде всего с физикой.



Структура курса

№п\пТема количество часов

1 Замечательные неравенства 12

2 Средние величины: их свойства и применение 22

Итого: 34

Данная учебная программа ориентирована для учащихся 9 классов.

Рабочая программа разработана на основании документов:

Учебный план МОБУ «СОШ № 68» пр. № от.08.2014.

Элективные курсы в профильном обучении. Образовательная область «Математика».

Программа для общеобразовательных учреждений. Планирование курса «Замечательные неравенства, их обоснование и применение» / [авт.- сост. канд. физ.мат.наук, доцент С.А.Гомонов]. — М. МОРФ. НФПК: 2004.

Преподавание ведется– 1 часов в неделю, всего в год 34 часа.

Основное содержание курсаЧАСТЬ I. ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

Введение. Предмет, изучению которого посвящен данный курс. Исторические сведения. Преемственная связь с базовым курсом школьной математики. Средние величины и неравенство Коши. О задачах школьных математических олимпиад.

Глава 1. Числовые неравенства и их свойства.

Понятие положительного и отрицательного действительного числа, число нуль. Основные законы сложения и умножения действительных чисел. Свойства суммы и произведения положительных чисел. Понятие «больше» для действительных чисел, его геометрическая интерпретация и свойства. Понятия «меньше», «не больше» и «не меньше» для действительных чисел и их свойства. Числовые неравенства.

Глава 2. Основные методы установления истинности числовых неравенств.

Сравнение двух чисел — значений числовых выражений «по определению», путем сравнения их отношения с единицей, путем сравнения их степеней, путем сравнения их с промежуточными числами (числом), метод введения вспомогательной функции, метод использования «замечательных» неравенств и некоторые другие. Примеры.





Глава 3. Основные методы решения задач на установление истинности неравенств с переменными.

Частные случаи неравенства Коши, их обоснование и применения. Краткое введение. О применении неравенств с параметрами и об умении подбирать, сочинять и обосновывать (а то и опровергать) неравенства с параметрами. Банк-хранилище замечательных неравенств наибольшей востребованности.

Неравенство-следствие. Равносильные (эквивалентные) неравенства. Равносильные задачи на доказательство (установление) или опровержение неравенств. Методы установления истинности неравенств с переменными: метод «от противного», метод анализа, метод синтеза, метод усиления и ослабления, метод подстановки (метод введения новых переменных), метод использования тождеств, метод введения вспомогательных функций, метод уменьшения или увеличения числа переменных, метод понижения степеней выражений, образующих левую или правую части неравенства, метод интерпретаций или моделей (векторных, тригонометрических, физических). Примеры.

Глава 4. Метод математической индукции и его применение к доказательству неравенств.

Неравенство Коши для произвольного числа переменных. Индукция вообще и в математике в частности. Система аксиом Дж. Пеано. Схема применения принципа (аксиомы) математической индукции. Некоторые модификации метода математической индукции. Примеры. Две теоремы о сравнении соответствующих членов двух последовательностей с помощью сравнения разности или отношения двух соседних членов одной последовательности с разностью или отношением двух членов другой последовательности. Примеры.

Глава 5. Неравенство Коши—Буняковского и его применение к решению задач.

Формулируется и обосновывается теорема, устанавливающая соотношение Коши—Буняковского и дающая критерий реализации этого соотношения в варианте равенства. Примеры. Геометрическая интерпретация неравенства Коши—Буняковского. Векторный вариант записи этого неравенства.

Глава 6. Неравенства подсказывают методы их обоснования.

а) Метод Штурма. Примеры.

б) Использование симметричности, однородности цикличности левой и правой частей неравенства.

в) Геометрические неравенства, устанавливающие соотношения между длинами сторон треугольника.

Дополнительным разделом как источником тренировочных задач для развития навыков преобразования выражений является раздел «Условные тождества».

Часть II. Средние величины: их свойства и применениеВведение. «Средние» в средней школе. Многообразие средних величин.

Глава 7. Средние степенные величины: соотношения между ними и другие источники замечательных неравенств.

Введение. Средние величины в школьном курсе математики, физики. Многообразие «средних».

а) Средние арифметическое, геометрическое, гармоническое и квадратическое и соотношение между ними в случае двух параметров. Геометрическая интерпретация. Четыре средние линии трапеции.

б) Среднее арифметико-геометрическое Гаусса и среднее арифметико-гармоническое, их существование и свойства.

в) Симметрические средние. Теорема Мюрхеда. Круговые неравенства и методы их доказательства.

г) Среднее арифметическое взвешенное и его свойства. Координаты центра масс конечной системы материальных точек.

д) Средние степенные и средние взвешенные степенные и их свойства. Примеры. Вывод неравенства Коши—Буняковского с помощью тождества Лагранжа.

Глава 8. Неравенство Чебышева и некоторые его обобщения.

Введение. Исторический экскурс. П.Л.Чебышев и его научное наследие.

а) Неравенство Чебышева: простейший вариант и его обобщение, порожденное понятием одномонотонной последовательности. Одномонотонная последовательность как результат обобщения понятия монотонных последовательностей и обнаружения некоторой «симметричности» выражений, составляющих левую и правую части неравенства Чебышева.

б) Неравенства, обобщающие как неравенство Чебышева, так и неравенство Коши—Буняковского.

Глава 9. Генераторы замечательных неравенств.

Перечисляются основные способы получения замечательных неравенств, причем как ранее уже изученные (идет повторение ранее пройденного), так и совершенно новые.а) Свойства квадратичной функции — источник простейших неравенств.

б) Неравенство треугольника.

в) Свойства одномонотонных последовательностей — источник замечательных неравенств:

Свойства двучленных и трехчленных одномонотонных последовательностей. Примеры. Свертка двух последовательностей.

Свойства одномонотонных последовательностей произвольной длины и их применение. Примеры.

Одномонотонность нескольких последовательностей, их свойства и применения. Примеры.

Обобщения. Итоги. Применения изученных понятий и их свойств к получению новых замечательных неравенств. Неравенства, обобщающие одновременно и неравенство Коши—Буняковско- го, и неравенство Чебышева.

г) Неравенство Иенсона. Введение. Историческая справка. Краткий обзор результатов. Выпуклый анализ — раздел современной математики.

Свойства центра масс конечной системы материальных точек.

Выпуклые фигуры и выпуклые функции. Надграфик и под- график функции. Неравенство Иенсона и его доказательство. Простейшие примеры применения.

Теорема о связи свойств выпуклости надграфика или подграфика функции с ее выпуклостью или вогнутостью.

Выпуклость фигур и свойства центра масс конечной системы материальных точек.

Исследование функций на выпуклость и вогнутость средствами математического анализа. Неравенство Коши—Гельдера и неравенство Минковского.

Достаточные условия вогнутости и выпуклости функции, заданной на указанном промежутке, в терминах ее производных первого и второго порядка (две основные теоремы разной степени общности и «тонкости»).

Примеры (таблица) функций, чья выпуклость или вогнутость устанавливается вышеуказанными теоремами. Конкретные виды неравенства Иенсона, порожденные функциями из таблицы. Неравенство Коши—Гельдера. Неравенство Минковского и другие примеры.

Замечание. Теоретический материал данной главы достаточно труден для изучения учащимися, поэтому учитель вполне может ограничиться рассмотрением лишь части данного материала, опираясь на наглядность и очевидность соответствующих свойств графиков конкретных функций и записав именно для них неравенство Иенсона с конкретным количеством параметров и конкретными значениями весов. Например, он может это сделать для логарифмической функции с выходом на получение неравенства Коши.

Глава 10. Применение неравенств.

Задача Дидоны (упрощенный вариант) и другие задачи на оптимизацию. Поиск наибольшего и наименьшего значений функции с помощью замечательных неравенств.

ТРЕБОВАНИЯ К ПОДГОТОВКЕ УЧАЩИХСЯ

Знать:

-   определение числового неравенства и его свойства;

-   определение средних величин и их свойства;

Уметь:

-  правильно употреблять математическую терминологию;

- работать с литературными источниками, находить и использовать информацию в бумажных и электронных изданиях;

-  исследовать функцию на выпуклость, вогнутость;

- находить наибольшее и наименьшее значения функции с помощью замечательных неравенств;

- применять неравенства при решении статистических и оптимизационных задач.

Литература

№ Авторы Название Год издания Издательство

1. С.А.Гомонов Замечательные неравенства, их обоснование и применение 2006 М. Дрофа

2. И.М.Кипнис. Сборник прикладных задач на неравенства 2007 М.:Просвещение3. Н.М.Седракян, А.М.Авоян. Неравенства. Методы доказательства. 2002 М.:Физматлит4. А.С.Симонов. Экономика на уроках математики 1999 М.: Школа-Пресс

5. И.С.Соминский. Метод математической индукции 2005 М.: Наука

6 Д.О.Шклярский, Н.Н.Ченцов, И.М.Яглом. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. 2003 М.: Наука

Похожие работы:

«Приложение 2 Инструкция по созданию виджета "Доступная среда" в АИС "Единое информационное пространство в сфере культуры" Создание виджета "Доступная среда" происходит при помощи автоматизированной информационной системы "Единое информационное пространство в сфере культуры" (далее – АИС ЕИПСК) Министерства культур...»

«Утверждаю: Председатель Правления МБФ "Мир на ладони" Чиркова Наталья Борисовна Благотворительный Фонд поддержки и развития культуры и образования "Мир на ладони" Многопрофильная фирма ООО "Пилигрим" 620012, г. Екатеринбург, ул. Машиностроителей, д. 19, оф. 127/2, тел./факс: 8 (343)222-21-61, 8 (343)278-65-85(86) E-mail: HYPERLINK m...»

«5473701042035 Пояснительная записка Рабочая программа предмета по мировой художественной культуре на ступень среднего общего образования разработана на основе Федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) образования по мировой художественной культуре,Программы для общеобразовательных учреждений. Мировая...»

«В. В. Сафонова, Н. В. БазинаМетодические принципы отбора аутентичных видеофильмов Для учебных целей FLT Principles for Selecting German Authentic Videos for Didactic Purposes Аннотация. В статье рассматриваются принципы отбора аутентичных в...»

«Рабочая программа по литературному чтению (СистемаД.Б.Эльконина – В.В.Давыдова. Авторская программа Е.И.Матвеевой)Пояснительная записка Рабочая программа по литературному чтению составлена на основе Концепции духовно-нравственног...»

«НАЦИОНАЛЬНЫЕ АНТИДОПИНГОВЫЕ ПРАВИЛАI. Общие положения1. Национальные антидопинговые правила (далее Правила) разработаны в соответствии с Законом Республики Узбекистан от 4 сентября 2015 г. №394 (О внесении изменений и дополнений в Закон Республики Узбе...»

«Документ предоставлен КонсультантПлюс 6 июля 2011 года N 163-ОЗКАЛУЖСКАЯ ОБЛАСТЬ ЗАКОНОБ УСТАНОВЛЕНИИ СИСТЕМЫ ОПЛАТЫ ТРУДА РАБОТНИКОВМУНИЦИПАЛЬНЫХ ДОШКОЛЬНЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ,РАБОТНИКОВ ГОСУДАРСТВЕННЫХ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ОРГАНИЗАЦИЙ,РАБОТНИКОВ ГОСУДАРСТВЕНН...»








 
2017 www.li.i-docx.ru - «Бесплатная электронная библиотека - различные ресурсы»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.